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自聚焦光纖模式色散的幾何光學(xué)處理方法

信息來源:本站 日期:2018-12-13 

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      關(guān)于自聚焦光纖模式色散的幾何光學(xué)處理,是筆者的一項(xiàng)教學(xué)成果。由于本文的目的是給出一個(gè)完整的教學(xué)處理方案,因此這里還是要給出文獻(xiàn)的主要分析與結(jié)論。手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)


     公式指出,自聚焦光纖具有拋物線型的折射率分布,中心的折射率高,折射率沿著半徑逐漸減少。因此進(jìn)入自聚焦光纖的光線趨向于向軸線彎曲,即光線圍繞著軸線擺動(dòng)。由于對(duì)稱性,我們只討論子午面內(nèi)光線的軌跡,在子午面z-x平面內(nèi),折射率可以表示成

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    其中α2=2Δ/a2。

    將上式代入光線方程,并考慮傍軸光線近似,得


    將自聚焦光纖內(nèi)的傍軸光線再分成近軸光線和遠(yuǎn)軸光線。所謂近軸光線就是擺動(dòng)的光線離軸線不遠(yuǎn),即α2x2?1,可以有近似則式可以近似成

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    顯然,公式是一個(gè)典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程,其通解為


    其中C和φ是積分常數(shù),分別代表光線擺動(dòng)的幅度和相位。式(11)表明,近軸光線是周期性圍繞光軸正弦擺動(dòng)的,α是擺動(dòng)的空間頻率??梢钥闯鏊薪S光線具有相同的空間周期2π/α,即近軸光線是周期性聚焦的,如圖5所示。根據(jù)費(fèi)馬原理,從軸線A點(diǎn)發(fā)出的所有近軸光線都將聚焦于B點(diǎn),A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的近軸光線是等光程的,不會(huì)引起時(shí)間差。換句話說,只考慮近軸光線,無法計(jì)算出模式色散,模式色散來源于遠(yuǎn)軸光線,這就是筆者將自聚焦光纖的傍軸光線分成近軸光線和遠(yuǎn)軸光線的原因。手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)


    圖5 自聚焦光纖中的近軸光線與遠(yuǎn)軸光線

可以預(yù)言,由于自聚焦光纖光線的這種聚焦特性,模式色散只來源于遠(yuǎn)軸光線,相較于階躍折射率多模光纖光線根本沒有聚焦特性,自聚焦光纖的模式色散顯然比起階躍折射率多模光纖要小很多,這在隨后的討論中將被證實(shí)。手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)

在討論遠(yuǎn)軸光線時(shí),利用泰勒展開,保留到αx的二階項(xiàng),公式(9)變成

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    下面我們用微擾方法討論式(12)。考慮遠(yuǎn)軸光線仍具有正弦擺動(dòng)特性,但是空間頻率有所不同


    將式(13)代入式(12),得到

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    其中遠(yuǎn)軸光線的空間周期變成2π/σ,不是常數(shù)。因此在計(jì)及遠(yuǎn)軸光線后,各光線不再可以周期性聚焦,存在著時(shí)間差。從式(14)可見,遠(yuǎn)軸光線的空間頻率與近軸光線有差別,隨著擺動(dòng)幅度C的不同而不同。最遠(yuǎn)的遠(yuǎn)軸光線幅度為a,則遠(yuǎn)軸光線的最大空間頻率滿足手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)

    或者

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    可見,由于αa?1,遠(yuǎn)軸光線的空間頻率和近軸光線的空間頻率還是十分接近的與α2a2相差α4a4,這是一個(gè)非常小的量。當(dāng)忽略α4a4時(shí),遠(yuǎn)軸光線還原為近軸光線,模式色散將無法計(jì)算。或者說在計(jì)算光程差(或者時(shí)延差)時(shí)近似展開至少要保留到α4a4項(xiàng)。

令最大模式的對(duì)應(yīng)光線軌跡函數(shù)為手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)

    x=asinσmaxz


    計(jì)算最大模式傳輸L距離后的光程

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    將上式被積函數(shù)做泰勒展開,保留到α4a4項(xiàng),則式(18)變?yōu)?/span>


    式(19)的后一積分項(xiàng)在積分跨越2π/σmax點(diǎn)時(shí)為零,則


    由光程差與時(shí)間差的關(guān)系,自聚焦光纖的模式色散為

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    這個(gè)結(jié)果與WKBJ近似法計(jì)算的結(jié)果完全一致[1,2]。將n1=1.500和n2=1.489代入式(21),得Δτmax=0.25ns/km,比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。


    總結(jié)一下第1節(jié)的主要結(jié)論:(1)近軸光線近似與費(fèi)馬原理預(yù)計(jì)的等光程性等價(jià),不能用近軸近似結(jié)果來計(jì)算自聚焦光纖的模式色散; (2)自聚焦光纖的模式色散來源于遠(yuǎn)軸光線,利用遠(yuǎn)軸近似可以得出自聚焦光纖模式色散的正確結(jié)果; (3)由于聚焦特性的不同,自聚焦光纖的模式色散比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)


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